课程名称

泛函分析

英文名称

A Course in Functional Analysis

课程编号

09_010001

学分

4

学时

72

课程类别

□公共学位课 □公共选修课学科基础课 □专业主干课 □专业选修课

适用专业

数学、统计学

适用类别

□博士硕士 □专业学位

开课学院

数学与信息科学学院

开课学期

每学年下半学期

主讲教师

王伟 高福根 等

职 称

副教授

联系方式

0373-3326148

辅讲教师

左红亮 杨长森 李海英等

职 称

教授

副教授等

联系方式

0373-3326148

考核方式

笔试 □课程论文 □实验设计 口试其他：学术小报告

课程简介

泛函分析是数学专业重要的专业基础课之一，是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论和量子物理等研究中发展起来的数学分支学科，它综合函数论、几何和代数的观点和方法研究解决数学中提出的重要问题。该课程是数学专业研究生课程中的核心课程，为学生进一步学习代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下坚实基础。

教学目的

泛函分析是从事现代数学研究与实际应用必备的基础课，它是空间的拓扑结构与代数结构的有机结合，通过这门课的教学，使研究生能够掌握赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间和Banach空间的基本概念和理论等基础知识，更重要的是掌握它的抽象思维和逻辑推理方法，提高研究生对数学分析、拓扑学和代数学等知识的综合运用能力，为进一步学习其它方向课奠定必备的基础。

教学内容、学时分配和教学要求

第一章 线性赋范空间（16学时）

§1（3学时）线性空间与度量空间

§2（5学时）经典的赋范空间

§3（2学时）完备性与Baire纲定理

§4（4学时）紧性与有限维空间

§5（2学时）积空间与商空间

本章要点：强调与数学分析和线性代数之间的联系与区别；强调几何直观；不动点定理。

第二章 线性算子与线性泛函（18学时）

§1（1学时）线性算子的概念

§2（2学时）Riesz定理及其应用

§3（5学时）开映象定理与闭图像定理

§4（5学时）Hahn-Banach定理

§5（5学时）凸集的隔离性定理

本章要点：Hahn-Banach保范延拓定理、一致有界原理、逆算子定理、开映射定理、闭图象定理。

第三章共轭空间与共轭算子（15学时）

§1（4学时）共轭空间及其表现

§2（2学时）W-收敛与W*-收敛

§3（4学时）共轭算子

§4（5学时）自反空间与一致凸空间

本章要点：共轭算子、自反空间与一致凸空间的相关性质。

第四章 紧算子与Fredholm算子（9学时）

§1（2学时）紧算子的定义和基本性质

§2（2学时）Riesz-Fredholm理论

§3（2学时）Hilbert-Schmidt定理

§4（1学时）对椭圆型方程的应用

§5（2学时）Fredholm算子

本章要点：Riesz-Fredholm理论；通过Fredholm方程经典处理与本章中处理方法的比较，体现泛函分析的广泛应用。

第五章Hilbert空间几何学（6学时）

§1（2学时）正交集与正交基

§2（2学时）正交投影

§3（2学时）共轭算子与一.五线性泛函

本章要点：正交投影及里斯表示定理。

第六章 有界线性算子谱理论（8学时）

§1（2学时）逆算子与谱

§2（2学时）紧算子的谱理论

§3（2学时）自共轭算子的谱理论

§4（2学时）谱系与谱分解

本章要点：紧算子和自共轭算子的谱分解。

预修课程或预备知识

学习本课程需具备较扎实的数学分析和线性代数基础，并对实变函数和拓扑学有初步的了解。

教材

张恭庆，林源渠著， 《泛函分析讲义》，北京大学出版社，1987.

主要参考文献（书籍、期刊和网站）

1．夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌 编著，《实变函数论与泛函分析》下册，高等教育出版社，2010.

2.刘培德 编著，《泛函分析基础》，武汉大学出版社，2002.

3.江泽坚，孙善利 编著，《泛函分析》，高等教育出版社，2004.

4.王声望，郑维行 编著， 《实变函数与泛函分析概要》，高等教育出版社，2004.

5．J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag, 1990.

6．W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, New York,1973.